Question

已知二次函数y=x²+bx+c的图象过点A（-3，0）和点B（1，0），且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是-2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值．

Answer 1

分析：（1）把A（-3，0）和点B（1，0），代入y=x²+bx+c，建立关于b，c的二元一次方程组，求出b，c即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，又因为A，B关于对称轴对称，所以连接BD与对称轴的交点即为所求P点．

解答：解：（1）将A（-3，0），B（1，0）代入y=x²+bx+c，
得

9-3b+c=0 1+b+c=0

，
解得

b=2 c=-3

∴y=x²+2x-3；

（2）∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4
∴对称轴x=-1，
又∵A，B关于对称轴对称，
∴连接BD与对称轴的交点即为所求P点．
过D作DF⊥x轴于F．将x=-2代入y=x²+2x-3，
则y=4-4-3=-3，
∴D（-2，-3）
∴DF=3，BF=1-（-2）=3
Rt△BDF中，BD=

32+32

=3

2

∵PA=PB，
∴PA+PD=BD=3

2

．
故PA+PD的最小值为3

2

．

点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式以及求二次函数对称轴，和点关于某直线对称的问题，难度适中，具有一定的综合性．