Question

在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别为点P、Q，设这两个外接圆又交于点M、N．
（a）求证：线段AF、BC相交于点N；
（b）求证：不论点M如何选取，直线MN都通过一定点S；
（c）当点M在点A、B之间变动时，求线段PQ的中点的轨迹．

Answer 1

考点：圆的综合题,梯形中位线定理,圆周角定理,平行线分线段成比例

专题：综合题

分析：（a）如图1，可先证明点N、A、F共线，再证明点N、B、C共线，就可解决问题．
（b）如图2，易得∠ANM=∠MNB=45°，即射线NM平分∠ANB，根据圆周角定理得到NM的延长线通过直径为AB的下半圆周的中点S．
（c）设PP′，QQ′和RR′分别是过P，Q和线段PQ的中点R到AB的垂线段，如图3，则有PP′∥QQ′∥RR′．根据平行线分线段成比例可得R′是P′Q′的中点，根据梯形中位线定理可得RR′=

AB

4

，即R到AB的距离是常值．然后考虑点M到点A、点B两个临界位置，就可解决问题．

解答：解：（a）证明：连接AN、NF、BC、MN、NB和NC，如图1，

则∠ANM=∠ADM=45°，∠MNF=180°-∠MBF=135°，
所以∠ANF=∠ANM+∠MNF=45°+135°=180°，
所以点N、A、F共线．
∵AC是⊙P的直径，∴∠ANC=90°．
∵∠ANB=∠ANM+∠MNB═45°+45°=90°，
∴点C、B、N共线，
∴AF和BC交于N．
（b）证明：如图2，

∵∠ANM=∠MNB=45°即射线NM平分∠ANB，
∴NM的延长线通过直径为AB的下半圆周的中点S．
（c）设PP′，QQ′和RR′分别是过P，Q和线段PQ的中点R到AB的垂线段，如图3，

则PP′∥QQ′∥RR′．
∵R为PQ的中点，∴R′是P′Q′的中点，
∴RR′=

1

2

（PP′+QQ′）=

1

2

（

1

2

AM+

1

2

MB）=

AB

4

，
即R到AB的距离是常值，
所以点R的运动路径是平行于线段AB且与AB的距离为

AB

4

的一条线段．
当M到点A时，点P′到点A，此时AQ′=

AB

2

，AR′=

AB

4

．
当M到点B时，点Q′到点B，此时P′B=

AB

2

，R′B=

AB

4

．
因而R的轨迹长为AB-

AB

4

-

AB

4

=

AB

2

．
所以线段PQ的中点的轨迹是平行于线段AB且与AB的距离为

AB

4

的一条长为

AB

2

的线段．

点评：这是一道第一届（1959年）国际数学奥林匹克试题，主要考查了圆周角定理、平行线分线段成比例、梯形的中位线定理等知识，确定动点的轨迹以及动点运动的起点和终点是求动点轨迹长的关键．