Question

5．如图，正比例函数y=$\frac{1}{2}$x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线AM，垂足为M，已知△OAM的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点A的坐标；
（3）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上确定一点P，使PA+PB最小．求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）结合反比例函数系数k的几何意义即可得出$\frac{1}{2}$|k|=1，结合第一象限内含有函数的图象，即可求出k的值，从而问题得解；
（2）联立一次函数与反比例函数解析式成方程组，解方程组即可得出结论；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，连接AP，根据反比例函数解析式求出点B坐标，再根据A′、A关于x轴对称找出点A′的坐标，结合点A′、B的坐标利用待定系数法求出直线A′B的解析式，令y=0求出x值即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）∵△OAM的面积为1，
∴$\frac{1}{2}$|k|=1，解得：k=±2，
∵第一象限内有反比例函数图象，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$．
（2）联立一次函数与反比例函数解析式：
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$（舍去）．
∴点A的坐标为（2，1）．
（3）令反比例函数y=$\frac{2}{x}$中x=1，则y=$\frac{2}{1}$=2，
∴点B的坐标为（1，2）．
作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，连接AP，如图所示．

则点P即是所要找的使PA+PB最小得点，
∵点A、A′关于x轴对称，且点A的坐标为（2，1），
∴点A′的坐标为（2，-1）．
设直线A′B的解析式为y=ax+b，
将点A′（2，-1）、B（1，2）代入到y=ax+b中得：
$\left\{\begin{array}{l}{-1=2a+b}\\{2=a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线A′B的解析式为y=-3x+5，
令y=-3x+5中y=0，则0=-3x+5，
解得：x=$\frac{5}{3}$．
∴点P的坐标为（$\frac{5}{3}$，0）．
故在x轴上确定一点P，点P的坐标为（$\frac{5}{3}$，0），此时PA+PB最小．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、反比例函数系数k的几何意义以及轴对称中得最短路线问题，解题的关键是：（1）根据反比例函数系数k的结合意义求出k的值；（2）解方程组；（3）找出点P的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，联立一次函数与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标是关键．