Question

如图1，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，E为BC的中点，过E点的圆O与BD相切于点P，圆O与直线AC，BC分别交于点F，G．
（1）求证：△PCD∽△EPF；
（2）如果AB=AD，AC=6，BD=8（如图2）．求圆O的直径．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BP=DP，
又∵BE=CE，
∴PE∥DC，
∴∠CPE=∠PCD，
∵BD切⊙O于P，
∴∠DPC=∠PEF，
∴△PCD∽△EPF；

（2）∵平行四边形ABCD中，AB=AD，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∴AC⊥BD，PB=

1

2

，
BD=

1

2

×8=4，PC=

1

2

，
AC=

1

2

×6=3，
∴BC=5，
∴BE=CE=

5

2

，
∵⊙O切BD于P，AC⊥BD，
∴PF为⊙O的直径，
∵PE²=BE•BG，
∴42=

5

2

•BG，
∴BG=

32

5

，
∴OG=BG-BC=

7

5

，
∵PC•CF=EC•CG，
∴3CF=

5

2

×

7

5

，
∴CF=

7

6

，
∴⊙O的直径为3+

7

6

=

25

6

．