Question

【题目】如图①，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，在BC边上取两点E、F（点E在点F的左边），以EF为边所作等边△PEF，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H．

（1）求△PEF的边长；

（2）若△PEF的边EF在线段CB上移动，试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论；

（3）若△PEF的边EF在射线CB上移动（分别如图②和图③所示，CF＞1，P不与A重合），（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．

Answer 1

【答案】（1）△PEF的边长为2；（2）PH﹣BE=1，证明过程见解析；（3）结论不成立，当1＜CF＜2时，PH=1﹣BE，当2＜CF＜3时，PH=BE﹣1．

【解析】

试题过P作PQ⊥BC，垂足为Q，由四边形ABCD为矩形，得到∠B为直角，且AD∥BC，得到PQ=AB，又△PEF为等边三角形，根据“三线合一”得到∠FPQ为30°，在Rt△PQF中，设出QF为x，则PF=2x，由PQ的长，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即可得到PF的长，即为等边三角形的边长；

PH﹣BE=1，过E作ER垂直于AD，如图所示，首先证明△APH为等腰三角形，在根据矩形的对边平行得到一对内错角相等，可得∠APE=60°，在Rt△PER中，∠REP=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由PE求出PR，由PA=PH，则PH﹣BE=PA﹣BE=PA﹣AR=PR，即可得到两线段的关系；

当若△PEF的边EF在射线CB上移动时（2）中的结论不成立，由（2）的解题思路可知当1＜CF＜2时，PH=1﹣BE，当2＜CF＜3时，PH=BE﹣1．

试题解析：（1）过P作PQ⊥BC于Q（如图1）， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°，即AB⊥BC，

又∵AD∥BC， ∴PQ=AB=， ∵△PEF是等边三角形， ∴∠PFQ=60°，

在Rt△PQF中，∠FPQ=30°， 设PF=2x，QF=x，PQ=，根据勾股定理得：，

解得：x=1，故PF=2， ∴△PEF的边长为2；

（2）PH﹣BE=1，理由如下： ∵在Rt△ABC中，AB=，BC=3， ∴由勾股定理得AC=2，

∴CD=AC， ∴∠CAD=30° ∵AD∥BC，∠PFE=60°， ∴∠FPD=60°， ∴∠PHA=30°=∠CAD，

∴PA=PH， ∴△APH是等腰三角形， 作ER⊥AD于R（如图2） Rt△PER中，∠RPE=60°， ∴PR=PE=1，

∴PH﹣BE=PA﹣BE=PR=1．

（3）结论不成立，

当1＜CF＜2时，PH=1﹣BE， 当2＜CF＜3时，PH=BE﹣1．