Question

【题目】如图所示，在中，，垂足为，平分，点为的中点，点为上的一点，连接、、、，．

（1）若，，求和的长．

（2）求证：．

Answer 1

【答案】（1）BE=3，；（2）证明见解析

【解析】

（1）要求BE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理计算时，已经知道了AE的长，必须先求出AB的长，而在中，AB=CD,所以要求出CD的长，根据平行四边形的的性质和DE平分，还有F是EC的中点，易证明，这样就可求出BE的值；而要求FG的长，只要通过证明，得到CG=CF，由（1）中，得到点G是CD的中点，从而可得FG是△EDC的中位线，利用中位线的性质，在利用勾股定理求出线段DE的前提下易求出FG的值；

（2）延长AG与BC的延长线交于点H ,由（1）中得，只要证明即可．

（1）∵四边形为平行四边形，∴，，．∴．

∵平分，∴，∴．∴．

∵点为的中点，∴，∴．

在中，由勾股定理得，∴．

在中，由勾股定理得．

∵，，，∴．∴．∴，∴是的中位线．∴．

（2）证明：如图所示，延长，交于点．

∵，∴，．

∵，∴．∴．

∵，∴．∴．

∵，∴，∴．

∵，∴．