Question

【题目】如图1，O为直线AB上一点，OC为射线，∠AOC＝40°，将一个三角板的直角顶点放在点O处，一边OD在射线OA上，另一边OE与OC都在直线AB的上方．

（1）将三角板绕点O顺时针旋转，若OD恰好平分∠AOC（如图2），试说明OE平分∠BOC；

（2）将三角板绕点O在直线AB上方顺时针旋转，当OD落在∠BOC内部，且∠COD＝∠BOE时，求∠AOE的度数：

（3）将图1中的三角板和射线OC同时绕点O，分别以每秒6°和每秒2°的速度顺时针旋转一周，求第几秒时，OD恰好与OC在同一条直线上？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）142.5°；（3）第10秒或第55秒时.

【解析】

（1）由角平分线的性质及同角的余角相等，可得答案；

（2）设∠COD＝α，则∠BOE＝3α，由题意得关于α的方程，求解即可；

（3）分两种情况考虑：当OD与OC重合时；当OD与OC的反向延长线重合时．

解：（1）∵OD恰好平分∠AOC

∴∠AOD＝∠COD

∵∠DOE＝90°

∴∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠COE＝90°

∴∠BOE＝∠COE

∴OE平分∠BOC．

（2）设∠COD＝α，则∠BOE＝3α，当OD在∠BOC的内部时，

∠AOD＝∠AOC+∠COD＝40°+α

∵∠AOD+∠BOE＝180°﹣90°＝90°

∴40°+α+3α＝90°

∴α＝12.5°

∴∠AOE＝180°﹣3α＝142.5°

∴∠AOE的度数为142.5°．

（3）设第t秒时，OD与OC恰好在同一条直线上，则∠AOD＝6t，∠AOC＝2t+40°；

当OD与OC重合时，6t﹣2t＝40°

∴t＝10（秒）；

当OD与OC的反向延长线重合时，6t﹣2t＝180°+40°

∴t＝55（秒）

∴第10秒或第55秒时，OD恰好与OC在同一条直线上．