Question

如图，AD⊥AB，BC⊥AB，且AD=2，BC=3，AB=12，P是线段AB上的一个动点，连接PD，PC

（1）设AP=x，用二次根式表示线段PD，PC的长；
（2）设y=PD+PC，求当点P在线段AB上运动时，y的最小值；
（3）利用（2）的结论，试求代数式

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理即可用二次根式表示线段PD，PC的长；
（2）作D点关于AB的对称点D′，连接CD′，根据勾股定理求出CD′的长，即为y的最小值；
（3）根据勾股定理构造出图形，利用两点之间线段最短的方法即可求出代数式的最小值．

解答：解：（1）在直角△ADP中，∵∠A=90°，AD=2，AP=x，
∴PD=

AD2+AP2

=

4+x2

；
在直角△BCP中，∵∠B=90°，AD=3，PB=AB-AP=12-x，
∴PC=

PB2+BC2

=

(12-x)2+9

；

（2）如右图．作D点关于AB的对称点D′，连接CD′，交AB于P，则PD′=PD，CD′=PD′+PC=PD+PC，即为y的最小值．
过D′作AB的平行线，交CB的延长线于E．
在△CED′中，∠E=90°，D′E=AB=12，CE=CB+BE=CB+AD=3+2=5，
由勾股定理，得CD′=

D′E2+CE2

=13，
故y的最小值为13；

（3）如右图．构造图形，AB=24，AD⊥AB，AD=3，BC=4，PA=x，PB=24-x，
PD=

x2+9

，PC=

(24-x)2+16

，
由对称性可知，PC+PD的最小值为PC+PD′=CD′=

D′E2+CE2

=

242+(4+3)2

=25．
故代数式

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值为25．

点评：本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题，构造出图形利用勾股定理求解是解答此题的关键．