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如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,四边形OBHC为矩形,CH的延长线交抛物线于点D(5,2),连结BC、AD.

(1)求C点的坐标及抛物线的解析式;(6分)
(2)将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF(点C与点E对应),判断点E是否落在抛物线上,并说明理由;(4分)
(3)设过点E的直线交AB边于点P,交CD边于点Q.问是否存在点P,使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由. (4分)
(1);(2)点E落在抛物线上,理由见解析;(3)(,0)或(,0).

试题分析:(1)由于CD∥x轴,因此C,D两点的纵坐标相同,那么C点的坐标就是(0,2),n=2,已知抛物线过D点,可将D的坐标代入抛物线的解析式中即可求出m的值,也就确定了抛物线的解析式;(2)由于旋转翻折只是图形的位置有变化,而大小不变,因此:△BCH≌△BEF,OC=BF,CH=EF.OC的长可以通过C点的坐标得出,求CH即OB的长,要先得出B点的坐标,可通过抛物线的解析式来求得.这样可得出E点的坐标,然后代入抛物线的解析式即可判断出E是否在抛物线上;(3)本题可先表示出直线PQ分梯形ABCD两部分的各自的面积,首先要得出P,Q的坐标,可先设出P点的坐标如:(a,0),由于直线PQ过E点,因此可根据P,E的坐标用待定系数法表示出直线PQ的解析式,进而可求出Q点的坐标,这样就能表示出BP,AP,CQ,DQ的长,也就能表示出梯形BPQC和梯形APQD的面积,然后分类进行讨论:①梯形BPQC的面积:梯形APQD的面积=1:3,②梯形APQD的面积:梯形BPQC的面积=1:3,根据上述两种不同的比例关系式,可求出各自的a的取值,也就能求出不同的P点的坐标,综上所述可求出符合条件的P点的坐标.
试题解析:(1)∵四边形OBHC为矩形,∴CD∥AB.
又D(5,2),∴C(0,2),OC=2.
,解得.
∴抛物线的解析式为:.
(2)点E落在抛物线上,理由如下:
由y=0,得, 解得x1=1,x2="4." ∴A(4,0),B(1,0). ∴OA=4,OB=1.
由矩形性质知:CH=OB=1,BH=OC=2,∠BHC=90°,
由旋转、轴对称性质知:EF=1,BF=2,∠EFB=90°,
∴点E的坐标为(3,-1).
把x=3代入,得
∴点E在抛物线上.
(3)存在点P(a,0). 记S梯形BCQP = S1,S梯形ADQP = S2,易求S梯形ABCD = 8.
当PQ经过点F(3,0)时,易求S1=5,S2 = 3,此时S1∶S2不符合条件,故a≠3.
设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0),则,解得.
∴直线PQ的解析式为.
由y = 2得x = 3a-6,∴Q(3a-6,2) .
∴CQ = 3a-6,BP = a-1, .
下面分两种情形:①当S1∶S2 = 1∶3时,
∴4a-7=2,解得
②当S1∶S2 =3∶1时,
∴4a-7=6,解得
综上所述:所求点P的坐标为. (,0)或(,0)
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