Question

15．如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连接BC，且OC=$\frac{3}{4}$OB．

（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；
（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；
（3）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B、C三点坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可．
（2）当点M在点A的左边时，可以证明BC=BM，OC=OM=3，推出M（3，0），作点M关于直线AB的对称点N，作直线BN交x轴于M₁，则∠M₁BA=∠MBA，点M₁满足条件，求出直线BN的解析式即可解决问题．
（3）画出图形，分两种情形讨论即可①当BC为菱形的边时，四边形CP₁Q₁B，四边形CP₃Q₃B，四边形BCQ₂P₂是菱形，②当BC是菱形的对角线时，四边形CP₄BQ₄是菱形．

解答 解：（1）对于直线y=-x+4，令x=0的y=4，令y=0得x=4，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OB=OA=4，
∵OC=$\frac{3}{4}$OB，
∴OC=3，
∴C（-3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+4．

（2）如图1中，

当点M在点A的左边时，
∵OB=OA=4，∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°，
∴∠CBO+∠MBA=∠MBA+∠MBO=45°，
∴∠CBO=∠OBM，
∵∠CBO+∠BCO=90°，∠BMO+∠OBM=90°，
∴∠BCO=∠BMO，
∴BC=BM，OC=OM=3，
∴M（3，0），
作点M关于直线AB的对称点N，作直线BN交x轴于M₁，则∠M₁BA=∠MBA，点M₁满足条件．
∵N（4，1），B（0，4），
∴直线BN的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+4，令y=0，得x=$\frac{16}{3}$，
∴M₁（$\frac{16}{3}$，0），
综上所述，满足条件的点点M的坐标为（3，0）或（$\frac{16}{3}$，0）．

（3）如图2中，

∵BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
当BC为菱形的边时，四边形CP₁Q₁B，四边形CP₃Q₃B，四边形BCQ₂P₂是菱形，此时Q₁（-5，4），Q₃（5，4），Q₂（0，4），
当BC是菱形的对角线时，四边形CP₄BQ₄是菱形，可得Q₄（-$\frac{25}{6}$，4）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（-5，4）或（5，4）或（0，-4）或$（{-\frac{25}{6}，4}）$．

点评 本题考查一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，不能漏解，属于中考常考题型．