Question

如图，AB=AC，DBC上任意一点，作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F，四边形AEDF为平行四边形．
（1）当点D在BC上运动时，∠EDF的大小是否发生变化？为什么？
（2）当AB=10cm时，求?AEDF的周长；
（3）通过计算（2），你能否的出类似于（1）的结论？写出你的猜想．

Answer 1

解：（1）不变，因为四边形AEDF为平行四边形，平行四边形的对角相等；

（2）在?AEDF中，DF=AE，AF=DE，ED∥AC
∴∠EDB=∠C，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=ED=AF，
∴C_?AEDF=2（AE+DE）=2（AE+BE）=2AB=20，
即?AEDF的周长等于等腰三角形的两腰之和，周长为20cm；

（3）?AEDF的周长保持不变，周长等于常数20cm．
分析：（1）由题可知，四边形AEDF为平行四边形，∠EDF=∠A，所以在D点运动过程中，只要∠A度数不发生变化，它的度数就不变；
（2）平行四边形AEDF中，FD=AE，AF=ED，因为ED和AC平行，所以∠EDB和∠C相等，又在等腰三角形ABC中，∠B=∠C，所以BE=DE，同理，AF=BE，即平行四边形AEDF周长等于AB的2倍20；
（3）在D点运动过程中，虽然平行四边形AEDF形状会发生变化，但是线段之间的和差关系不变，即平行四边形AEDF周长永远等于三角形ABC腰长的2倍．
点评：本题主要考查了平行四边形中对边相等的性质及应用，以及等腰三角形的等角对等边的性质，难易程度适中．