Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是4．

Answer 1

分析 作辅助线，构建PC+PQ的最小值，即CM的值，根据面积法求出CM的长，即PC+PQ的最小值．

解答 解：如图，过C作CM⊥AB，交AD于P，交AB于M，过P作PQ⊥AC于Q，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴PQ=PM，
这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，BC=8，
tan30°=$\frac{AC}{BC}$，cos30°=$\frac{BC}{AB}$，
∴AC=8×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，AB=$\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CM，
∴$\frac{8\sqrt{3}}{3}$×8=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$•CM，
∴CM=4，
∴PC+PQ的最小值为4，
故答案为：4．

点评 本题考查了最短路径问题和含30°角的直角三角形的性质，在直角三角形，30°角所对的直角边是斜边的一半，也可以利用30°角的三角函数列式求边长；凡是涉及最短距离的问题，一方面考虑垂线段最短，如本题，另一方面利用所学轴对称变换来解决，作点关于某直线的对称点．