Question

3．已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）设点E时抛物线上一点，且S_△ABE=$\frac{5}{3}$S_△ABC，求tan∠ECO的值；
（3）点P在抛物线上，点Q在抛物线对称轴上，若以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的对称轴方程可计算出b=-2，再把C（0，-3）代入抛物线解析式可得到c=-3，所以抛物线的函数表达式为y=x²-2x-3；
（2）先求得S_△ABC=6，然后求得S_△ABE=$\frac{5}{3}$S_△ABC=10，进而求得E的纵坐标，代入抛物线的解析式求得E的坐标，过点E作EF⊥y轴于点F，然后在Rt△EOF中，利用正切的定义求解即可；
（3）此题应分两种情况讨论：
①BC为平行四边形的边；那么将点Q向左或向右平移BC长，即可得到点P的横坐标，再代入抛物线的解析式中求解即可；
②BC为平行四边形的对角线；则P的横坐标为2，再代入抛物线的解析式中求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线交y轴于点C，
∴c=-3
又∵对称轴是x=1，
∴-$\frac{b}{2}$=1，解得b=-2，
∴抛物线表达式为：y=x²-2x-3；
（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点
∴A（-1，0）B（3，0），C（0，-3），
∴AB=4，OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=6，
设点E（x，y）
∵S_△ABE=$\frac{5}{3}$S_△ABC，
∴S_△ABE=10，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•|y_E|=10，
即：|y|=5，
∵点E在抛物线上
∴x²-2x-3=5或x²-2x-3=-5，
解得：x=4或x=-2，
∴点E（4，5）或E（-2，5），
过点E作EF⊥y轴于点F，如图1，
∴EF=4或2，CF=8，
在Rt△EOF中，tan∠ECO=$\frac{EF}{CF}$，
∴tan∠ECO=$\frac{1}{4}$或tan∠ECO=$\frac{1}{2}$．
（3）由抛物线的对称轴为x=1，设Q（1，y_Q），如图2，则有：
①若BC为边，
∵B（3，0），C的横坐标与Q的横坐标的差为1，
∴P与B的横坐标的差为1，
∵C和B的横坐标的差为2，
∴P的横坐标为4或-2，
则：P（4，y_P）或（-2，y_P），
把x=4代入抛物线的解析式中，得：y=4²-2×4-3=5，
把x=-2代入抛物线的解析式中，得：y=（-20²-2×（-2）-3=5，
∴P₁（4，5），P₂（-2，5）；
②若BC为对角线，则P（2，y_P），代入抛物线的解析式中，可得：P（2，-3）．
综上，存在符合条件的点P，坐标为（4，5）或（-2，5）或（2，-3）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；理解坐标与图形的性质；难点在第二、第三问，关键是将所学的基础知识系统化，达到融会贯通的层次．