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    4．已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连接PP1、PP2．

    （1）解决问题 如图1，当α=90°时，若BP=2AP=4，求P1、P2两点间的距离；
    （2）变式训练 如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；
    （3）深入探究 如图3，若点Q是△P2PB的外心，连接PQ，试探究P1P与PQ之间的位置关系，并说明理由．

    分析 （1）由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2．推出△PAP1和△PBP2均为等腰直角三角形，得到∠P1PP2=180°-∠APP1-∠BPP2=90°，然后根据勾股定理即可得到结论；
    （2）根据题意得出△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰直角三角形，进而得出∠P1PP2=∠PAP2=α，求出△P2P1P∽△P2PA；
    （3）首先连结QB，得出Rt△QBE≌Rt△QBF，利用∠P1PQ=180°-∠APP1-∠QPB求出即可．

    解答 （1）解：由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2．
    ∵α=90°，
    ∴△PAP1和△PBP2均为等腰直角三角形，
    ∴∠APP1=∠BPP2=45°，
    ∴∠P1PP2=180°-∠APP1-∠BPP2=90°，
    ∵BP=2AP=4，
    ∴AP=2，
    ∴PP1=2$\sqrt{2}$，PP2=4$\sqrt{2}$，
    ∴P1P2=$\sqrt{P{{P}_{1}}^{2}+P{{P}_{2}}^{2}}$=2$\sqrt{10}$；

    （2）证明：由旋转的性质可知△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形，
    ∴∠APP1=∠BPP2=90°-$\frac{α}{2}$，
    ∴∠P1PP2=180°-（∠APP1+∠BPP2）=180°-2（90°-$\frac{α}{2}$）=α，
    在△PP2P1和△P2PA中，∠P1PP2=∠PAP2=α，
    又∵∠PP2P1=∠AP2P，
    ∴△P2P1P∽△P2PA；

    （3）证明：如图3，连接QB．
    ∵l1，l2分别为PB，P2B的中垂线，
    ∴EB=$\frac{1}{2}$BP，FB=$\frac{1}{2}$BP2．
    又∵BP=BP2，
    ∴EB=FB．
    在Rt△QBE和Rt△QBF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{EB=FB}\\{QB=QB}\end{array}\right.$，
    ∴Rt△QBE≌Rt△QBF，
    ∴∠QBE=∠QBF=$\frac{1}{2}$∠PBP2=$\frac{α}{2}$，
    由中垂线性质得：QP=QB，
    ∴∠QPB=∠QBE=$\frac{α}{2}$，
    由（2）知∠APP1=90°-$\frac{α}{2}$，
    ∴∠P1PQ=180°-∠APP1-∠QPB=180°-（90°-$\frac{α}{2}$）-$\frac{α}{2}$=90°，
    即 P1P⊥PQ．

    点评 此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定和全等三角形的判定与性质等知识，得出Rt△QBE≌Rt△QBF是解题关键．

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    14．问题提出
    平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是A、B、C三点的巧妙点．若A、B、C三点构成三角形，也称点P是△ABC的巧妙点．
    初步思考
    （1）如图①，在等边△ABC的内部和外部各作一个△ABC的巧妙点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
    （2）如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，点D、E是△ABC的两个巧妙点，其中AD=AB，AE=AC，BD=BC=CE，连接DE，分别交AB、AC于点M、N．求证：DA2=DB•DE．
    深入研究
    （3）在△ABC中，AB=AC，若存在一点P，使PB=BA，PA=PC．点P可能为△ABC的巧妙点吗？若可能，请画出示意图，并直接写出∠BAC的度数；若不可能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    15．下列说法错误的是（　　）
    A．相等的角是对顶角
    B．同角的补角相等
    C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
    D．平行于同一条直线的两条直线平行

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    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    12．为了解九（3）班学生每天零花钱的使用情况，小明随机调查了20名同学，结果如表：关于这20名同学每天使用的零花钱，下列说法错误的是（　　）
    每天使用零花钱（单位：元）012345
    人数256421
    A．众数是2元B．中位数是2元C．极差是5元D．平均数是2.45元

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    19．如图1，抛物线经过A（1，0），B（7，0），D（0，$\frac{7}{4}$）三点，以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）在抛物线x轴上方是否存在点M，使S△ABM=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$S△ABC？若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．
    ①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系，请说明理由，并求出∠APB的度数；
    ②若AF=BE，当点E由A运动到C时，试求点P经过的路径长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．在图中，正方形AOBD的边AO，BO在坐标轴上，若它的面积为16，点M从O点以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，当M到达B点时，运动停止．连接AM，过M作AM⊥MF，且满足AM=MF，连接AF交BD于E点，过F作FN⊥x轴于N，连接ME．设点M运动时间为t（s）．
    （1）直接写出点D和M的坐标（可用含t式子表示）；
    （2）当△MNF面积为$\frac{8}{3}$时，求t的值；
    （3）△AME能否为等腰三角形？若不能请说明理由；若能，求出t的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    16．下列各式子中，是二元一次方程的是（　　）
    A．x+2y=3zB．xy=1C．x+y=1D．x-yz=2008

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    13．如图1，矩形ABCD中，AB=8，BC=8$\sqrt{3}$，半径为$\sqrt{3}$的⊙P与线段BD相切于点M，圆心P与点C在直线BD的同侧，⊙P沿线段BD从点B向点D滚动．
    发现：BD=16；∠CBD的度数为30°；
    拓展：
    ①当切点M与点B重合时，求⊙P与矩形ABCD重叠部分的面积；
    ②在滚动过程中如图2，求AP的最小值；
    探究：
    ①若⊙P与矩形ABCD的两条对角线都相切如图3，求此时线段BM的长，并直接写出tan∠PBC的值；
    ②在滚动过程中如图4，点N是AC上任意一点，直接写出BP+PN的最小值．

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    14．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3，现将△ABC绕B逆时针旋转一定角度，点C′恰好落在边BC上的高所在的直线上，则阴影部分的面积为（　　）
    A．πB．$\frac{3π}{2}$C．$\frac{5π}{2}$D．3π

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