Question

4．如图，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x、y轴分别交于A、B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．过点A、B、D的抛物线P叫做l的关联抛物线，l叫做P的关联直线．
（1）若l：y=-2x+2，则P表示的函数解析式为y=-x²-x+2，；
若p：y=-x²-3x+4，则l表示的函数解析式为y=-4x+4．
（2）求P的对称轴（用含m、n的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数自变量与函数值的对应关系，可得A、B、D的值，根据待定系数法，可得函数解析式；根据二次函数自变量与函数值的对应关系，可得A、B、的值，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据一次函数自变量与函数值的对应关系，可得A、B，根据旋转的性质，可得D点坐标，根据A、D点关于对称轴对称，可得答案．

解答 解：（1）当x=0时，y=2，B（0，2）；当y=0时，x=1，A（1，0），由旋转的性质，得D（-2，0），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
将A，B，C的坐标代入$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{4a-2b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²-x+2；
y=-x²-3x+4，当x=0时，y=4，B（0，4），
当y=0时，-x²-3x+4=0，解得x=1，x=-4（不符合题意，舍），A（1，0），
设直线的解析式为
y=kx+b，将A，B点坐标代入
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=4}\end{array}\right.$，
直线的解析式为y=-4x+4，
故答案为：y=-x²-x+2，y=-4x+4；
（2）对直线l：y=mx+n　　（m＜0，n＜0），
当x=0时，y=n，B（0，n），
当y=0时，x=-$\frac{n}{m}$，A（-$\frac{n}{m}$，0）．
由题意得D（-n，0）．
设抛物线对称轴与x轴交点为N（x，0）．
DN=AN，
∴-$\frac{n}{m}$-x=x-（-n），2x=-n-$\frac{n}{m}$，
P的对称轴是x=-$\frac{mn+n}{2m}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，自变量与函数值的对应关系求相应的A、B的值，又利用了旋转的性质得出B点的坐标，利用二次函数的函数值相等的点关于对称轴对称是解题关键．