在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示;抛物线y=ax2+ax-2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)过点B作,垂足为D, ∵ ∴ 又∵ ∴△≌△, 1分 ∴==1,==2; 2分 ∴点B的坐标为(-3,1); 3分 (2)抛物线经过点B(-3,1),则得到, 4分 解得,所以抛物线解析式为; 5分 (3)假设存在P、Q两点,使得△ACP是直角三角形: ①若以AC为直角边,点C为直角顶点; 则延长至点,使得,得到等腰直角三角形△,过点作, ∵1=,,;∴△≌△ ∴==2,∴==1,可求得点P1(1,-1); 6分 经检验点P1(1,-1)在抛物线上,使得△是等腰直角三角形; 7分 ②若以AC为直角边,点A为直角顶点;则过点A作,且使得, 得到等腰直角三角形△,过点P2作,同理可证△≌△; ∴==2,==1,可求得点(2,1); 8分 经检验点(2,1)也在抛物线上,使得△也是等腰直角三角形. 9分 |
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