Question

【题目】如图，等腰△ABC如图放置，顶角的顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m的垂线，垂足分别为E、D，且AE＝CD．

（1）求证：△AEC≌△CDB；

（2）若设△AEC的三边长分別为a、b、c，利用此图证明勾股定理．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）通过直角三角形两锐角互余证明∠CAE＝∠BCD ，再证得△CAE≌△BCD，

（2）利用等面积法证得勾股定理．

（1）证明：∵∠ACB＝90°，

∴∠ACE+∠BCD＝90°．

∵∠ACE+∠CAE＝90°，

∴∠CAE＝∠BCD．

在△AEC与△BCD中，

，

∴△CAE≌△BCD（AAS）．

（2）解：由①知：△CAE≌△BCD，

∴BD＝CE＝a，CD＝AE＝b，

∴S梯形AEDB＝

又∵S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC

∴

整理，得a2+b2＝c2．