Question

一只蚂蚁在立方体的表面积爬行．
（Ⅰ）如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由．
（Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的（　　）
（A）1cm＜l＜3cm    （B）2cm       （C）3cm
这样的最短路径有

6

条．
（Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm，宽DF=2cm，高AB=1.5cm的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图测量来说明）

Answer 1

分析：（I）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可；
（II）根据图形可得出最短路径为

5

，进而得出答案即可；
（Ⅲ）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可．

解答：解：（I）如图1所示，沿线段AB爬行即可，根据两点之间线段最短；

（II）如图2所示：1cm＜l＜3cm，
故选A，
路线有6条，如图2所示：

（III）蚂蚁爬行的最短路线是沿面AF和面FC展开后所连接的线段AE，
原因：如图①和图②所示作图，分别连接AE，并分别在两图中测量AE的长，可得图②中的AE较短．
也可利用勾股定理得出：图①中AE=

73

2

cm，图②中AE=

65

2

cm．

点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．