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20.如图,已知CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,∠C=30°,连结AO并延长交BC于点E.
(1)求证:AE⊥BC;
(2)若AO=1,求阴影部分的面积.

分析 (1)由垂径定理可知$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$,所以由圆周角定理可知:∠AOD=2∠C=60°,根据三角形内角和定理即可求出∠CEO=90°
(2)连接OB,分别求出扇形OAB,三角形OAB的面积即可求出阴影部分的面积.

解答 解:(1)∵CD⊥AB,
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$,
∴由圆周角定理可知:∠AOD=2∠C,
∴∠COE=∠AOD=60°,
∴∠CEO=90°,
∴AE⊥BC
(2)连接OB,
由(1)可知:∠OAF=30°,
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$,
由勾股定理可知:AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴由垂径定理可知:AB=2AF=$\sqrt{3}$
∴△OAB的面积为:$\frac{1}{2}$AB•OF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$
扇形OAB的面积为:$\frac{120°π×1}{360°}$=$\frac{π}{3}$
∴阴影部分的面积为:$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$

点评 本题考查圆的综合问题,解题的关键是根据垂径定理求出∠AOB的度数,以及OF、AF的长度,本题属于基础题型.

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(2)当点D在CB的延长线上时,已知△BDE的面积为$\frac{1}{16}$,求k的值;
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