Question

17．如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．
（1）求证：PN与⊙O相切；
（2）如果∠MPC=30°，PE=2$\sqrt{3}$，求劣弧$\widehat{BE}$的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，过O作OF⊥PN，根据角平分线的性质定理可得OF=OE，即可确定出PN与圆O相切；
（2）在直角三角形POE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OE的长，∠EOB度数，利用弧长公式即可求出劣弧$\widehat{BE}$的长．

解答 （1）证明：连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，
∵PM与圆O相切，
∴OE⊥PM，
∴∠OEP=∠OFP=90°，
∵PC平分∠MPN，
∴OF=OE，
则PN与圆O相切；
（2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=2$\sqrt{3}$，
∴∠EOP=60°，OE=2，
∴∠EOB=120°，
则$\widehat{BE}$的长l=$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4π}{3}$．

点评 此题考查了切线的判定与性质，弧长公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．