Question

已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足 ∠MAN=45°，连结MC，NC，MN．

（1）填空：与△ABM相似的三角形是△       ，BM·DN=        ；（用含a的代数式表示）
（2）求∠MCN的度数；
（3）猜想线段BM，DN和MN之间的数量关系并证明你的结论．

Answer 1

（1）NDA，a²；（2）135°；（3）BM²+DN²=MN²，证明见解析．

试题分析：（1）如图（3）由条件可以得出∠BMA=∠3，∠ABM=∠ADN=135°，就可以得出△ABM∽△NDA，利用相似三角形的性质就可以的得出BM•DN=a²；（2）由△ABM∽△NDA，可以得出BM：DA=AB：ND，再由正方形的性质通过等量代换就可以得出△BCM∽△DNC，利用角的关系和圆周角的度数就可以求出结论；（3）将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF，证明△ABF≌△ADN．利用边角的关系得出△BMF是直角三角形，由勾股定理就可以得出结论．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°.
∵BM，DN分别平分正方形的两个外角，∴∠CBM=∠CDN="45°." ∴∠ABM=∠ADN=135°.
∵∠MAN=45°，∴∠BMA=∠NAD. ∴△ABM∽△NDA. ∴. ∴BM•DN=a²．
（2）由（1）△ABM∽△NDA可得BM：DA=AB：ND．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC，DA=BC，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°．
∴BM：BC=DC：ND．
∵BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，∴∠CBM=∠NDC=45°．
∴△BCM∽△DNC．∴∠BCM=∠DNC．
∴∠MCN=360°-∠BCD-∠BCM-∠DCN=270°-（∠DNC+∠DCN）=270°-（180°-∠CDN）=135°.
（3）线段BM，DN和MN之间的等量关系是BM²+DN²=MN²．证明如下：
如图，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．则△ABF≌△ADN．
∴∠1=∠3，AF=AN，BF=DN，∠AFB=∠AND．∴∠MAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠MAN=45°．
∴∠MAF=∠MAN．
又∵AM=AM，∴△AMF≌△AMN．∴MF=MN．
可得∠MBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AND+∠3）+45°=90°．
∴在Rt△BMF中，BM²+BF²=FM²．
∴BM²+DN²=MN²．