Question

【题目】如图，抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B(1，﹣2)，且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是（　　）

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①由非负数的性质，即可证得y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，即可得无论x取何值，y2总是负数;

②由抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2与l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到;

③由 y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，可得随着x的增大，y1﹣y2的值减小;

④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得AF＝CF＝DF＝EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形.

解：①∵（x﹣2）2≥0,

∴﹣（x﹣2）2≤0,

∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0,

∴无论x取何值，y2总是负数;

故①正确;

②∵抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2）,

∴当x＝1时，y＝﹣2,

即﹣2＝a（1+1）2+2,

解得：a＝﹣1;

∴y1＝﹣（x+1）2+2,

∴H可由G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到;

故②正确;

③∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6,

∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小;

故③错误;

④设AC与DE交于点F,

∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2,

解得：x＝﹣3或x＝1,

∴点A（﹣3,﹣2）,

当y＝﹣2时,﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2,

解得：x＝3或x＝1,

∴点C（3，﹣2）,

∴AF＝CF＝3，AC＝6,

当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5,

∴DE＝6，DF＝EF＝3,

∴四边形AECD为平行四边形,

∴AC＝DE,

∴四边形AECD为矩形,

∵AC⊥DE,

∴四边形AECD为正方形.

故④正确.

故选：B.