Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0°＜＜180°），得到△A′B′C．
小题1:如图（1），当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形；
小题2:如图（2），连接A′A、B′B，设△ACA′ 和△BCB′ 的面积分别为S_△ACA′ 和S_△BCB′．求证：S_△ACA′ ：S_△BCB′ =1：3；

Answer 1

小题1:见解析。
小题2:见解析。

（1）∵AB∥CB′，∴∠B=∠BC B′=30°，∴∠A′CD=60°，
又∵∠A′=60°，∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，∴△A′CD是等边三角形；…………4分
（2）∵AC=A′C，BC=B′C，∴ 又∵∠ACA′=∠BCB′，
∴△ACA′∽△BCB′，…………6分
∵相似比为，
∴S_△ACA′ ：S_△BCB′ =1：3；