【题目】如图,已知二次函数的图象与轴交于点,与y轴交于点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点ABPF为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;
(3)点E是二次函数第四象限图象上一点,过点E作x轴的垂线,交直线BC于点D,求四边形面积的最大值及此时点E的坐标.
【答案】(1);(2)点P的坐标为或;(3)四边形面积的最大值为,此时点E的坐标为.
【解析】
解:(1)将点代入中,
得, 解得.
∴二次函数的解析式为;
(2)如解图①,当以AB为边时,
∵以点ABPF为顶点的四边形为平行四边形,
.
已知点,
,对称轴.
设点,点,
则,解得或,
∵点在二次函数的图象上,
∴将或代入中.
∴点;
图①
如图②,当以AB为对角线时,设AB与PF的交点为M,
∵以点ABPF为顶点的四边形是平行四边形,
.
,
∴点,∵点F在对称轴上,
∴F点的横坐标为2.
∴P点的横坐标为2.
将代入中,得,
∴点.
图②
综上所述,以点ABPF为顶点的四边形为平行四边形时,点P的坐标为或;
(3)如解图③,设直线BC的解析式为,
将代入中,得,
的坐标为.
把和代入中得解得
∴直线BC的解析式为.
设
则
由得,
,
∴当时,..
则四边形面积的最大值为,此时点E的坐标为.
图③
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【题目】解密数学魔术:魔术师请观众心想一个数,然后将这个数按以下步骤操作:
魔术师能立刻说出观众想的那个数.
(1)如果小玲想的数是,请你通过计算帮助她告诉魔术师的结果;
(2)如果小明想了一个数计算后,告诉魔术师结果为85,那么魔术师立刻说出小明想的那个数是:__________;
(3)观众又进行了几次尝试,魔术师都能立刻说出他们想的那个数.若设观众心想的数为,请你按照魔术师要求的运算过程列代数式并化简,再用一句话说出这个魔术的奥妙.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C = 90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接OD,点E在BC上, B E=DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若BC=6,求线段DE的长;
(3)若∠B=30°,AB =8,求阴影部分的面积(结果保留).
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,BM切⊙O于点B,点P是⊙O上的一个动点(点P不与A,B两点重合),连接AP,过点O作OQ∥AP交BM于点Q,过点P作PE⊥AB于点C,交QO的延长线于点E,连接PQ,OP,AE.
(1)求证:直线PQ为⊙O的切线;
(2)若直径AB的长为4.
①当PE= 时,四边形BOPQ为正方形;
②当PE= 时,四边形AEOP为菱形.
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【题目】某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间(单位:h),随机调査了该校的部分初中学生.根据调查结果,绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)本次接受调查的初中学生人数为___________,图①中m的值为_____________;
(Ⅱ)求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数;
(Ⅲ)根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据,若该校共有800名初中学生,估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,,与轴交于点,直线经过,两点.
求抛物线的解析式;
在上方的抛物线上有一动点.
①如图,当点运动到某位置时,以,为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点的坐标;
②如图,过点,的直线交于点,若,求的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴的交点为A(0,3),与x轴的交点分别为B(2,0),C(6,0).直线AD∥x轴,在x轴上位于点B右侧有一动点E,过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P,Q.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点E在线段BC上时,求△APC面积的最大值;
(3)是否存在点P,使以A,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】(列方程解应用题)为提高学生的阅读兴趣,某学校建立了共享书架,并购买了一批书籍.其中购买A种图书花费了3000元,购买B种图书花费了1600元,A种图书的单价是B种图书的1.5倍,购买A种图书的数量比B种图书多20本,求A和B两种图书的单价分别为多少元?
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