Question

19．如图，AB，AC为⊙O的弦，AB=AC，连接AO．
（1）如图l，求证：∠OAC=∠OAB；
（2）如图2，过点B作AC的垂线交⊙O于点D，连接CD，设AO的延长线交BD于点E，求证：BE=CD；
（3）在（2）的条件下，如图3，点F，G分别在CD，BD的延长线上，连接AG，AF，若CF×AG=8，∠GAB=45°+$\frac{1}{2}$∠GAE，∠B=50°，求△ACF的面积．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OC、OB．只要证明△AOC≌△AOB即可．
（2）如图2中，连接EC．首先证明△EAC≌△EAB，推出EC=EB，∠ACE=∠B，再证明∠CDE=∠CED，推出CD=CE即可解决问题．
（3）连接AD，作AN⊥EC于N，AC与BD交于点M．设∠GAD=x．只要证明∠GAM=30°，在Rt△AGM中．AM=AN=AG•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG，根据S_△ACF=$\frac{1}{2}$•CF•AN=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•CF•AG，即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OC、OB．

在△AOC和△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}\\{OC=OB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△AOB，
∴∠CAO=∠BAO．

（2）证明：如图2中，连接EC．

在△AEC和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠EAC=∠EAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△EAB，
∴EC=EB，∠ACE=∠B，
∵∠B=∠DCA，
∴∠DCA=∠ACE，
∵BD⊥AC，
∴∠CDE+∠DCA=90°，∠CED+∠ACE=90°，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE=EB．

（3）解：如图3中，连接AD，作AN⊥EC于N，AC与BD交于点M．设∠GAD=x．

∵∠B=50°，∠AMB=90°，
∴∠MAB=40°，
∴∠EAM=∠EAB=20°
∴∠CDM=∠CAB=40°，
∵CD=EC，AC⊥DE，
∴DM=ME，
∴AD=AE，
∴∠MAD=∠MAE=20°，
∴∠DAB=60°，
∴∠ADB=180°-∠DAB-∠B=70°，
∴∠ADN=180°-∠CDM=70°，
∴∠ADN=∠ADM，
∵AN⊥DF，AM⊥DB，
∴AN=AM，
∵∠GAB=45°+$\frac{1}{2}$∠GAE，
∴x+60°=45°+$\frac{1}{2}$（x+40°），
∴x=10°，
∴∠GAM=30°，
在Rt△AGM中．AM=AN=AG•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$•CF•AN=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•CF•AG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、一元一次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程，本题体现了数形结合的思想，本题的突破点是证明∠GAM=30°，属于中考压轴题．