分析 (1)根据相似三角形的判定定理证明△OPC∽△PAB,根据相似三角形的性质列出比例式,得到一元二次方程,解方程即可;
(2)证明△OCM∽△PCO,根据相似三角形的性质列出比例式即可求解;
(3)过E作ED⊥OA于点D,交MP于点F,根据题意得到△EOA的面积=矩形OABC的面积,求出ED的长,根据相似三角形的性质求出PM,由(2)的解析式计算即可.
解答 解:(1)由题意知,OA=BC=5,AB=OC=2,∠B=∠OCM=90°,BC∥OA,
∵OP⊥AP,
∴∠OPC+∠APB=∠APB+∠PAB=90°,
∴∠OPC=∠PAB,
∴△OPC∽△PAB,
∴$\frac{CP}{AB}=\frac{OC}{PB}$,即$\frac{x}{2}=\frac{2}{5-x}$,
解得x1=4,x2=1(不合题意,舍去).
∴当x=4时,OP⊥AP;
(2)∵BC∥OA,
∴∠CPO=∠AOP,
∵∠AOP=∠COM,
∴∠COM=∠CPO,
∵∠OCM=∠PCO,
∴△OCM∽△PCO,
∴$\frac{CM}{CO}=\frac{CO}{CP}$,即$\frac{x-y}{2}=\frac{2}{x}$,
∴$y=x-\frac{4}{x}$,x的取值范围是2<x<5;
(3)假设存在x符合题意,
过E作ED⊥OA于点D,交MP于点F,则DF=AB=2,
∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积,
∴${S_{△EOA}}={S_{矩OABC}}=2×5=\frac{1}{2}×5ED$,
∴ED=4,EF=2,
∵PM∥OA,
∴△EMP∽△EOA,
∴$\frac{EF}{ED}=\frac{MP}{OA}$,即$\frac{2}{4}=\frac{y}{5}$,
解得$y=\frac{5}{2}$,
∴由(2)$y=x-\frac{4}{x}$得,$x-\frac{4}{x}=\frac{5}{2}$,
解得${x_1}=\frac{{5+\sqrt{89}}}{4},{x_2}=\frac{{5-\sqrt{89}}}{4}$(不合题意舍去),
∴在点P的运动过程中,存在$x=\frac{{5+\sqrt{89}}}{4}$,使△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积.
点评 本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及函数解析式的确定,掌握矩形的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{\sqrt{3}}{8}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{4}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ | D. | $\frac{\sqrt{2}}{8}$ |
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