Question

4．如图，将抛物线y=-x²+1平移，平移后的抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），并与x轴交于点C．
（1）求平移后的抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线在第一象限上的一动点，当∠ACB=∠ABP时，求点P的坐标；
（3）在（2）问的条件下，点E是PB的中点，过点P作x轴的平行线交y轴于点F，点M是直线PF上的一个动点，且点M与点P不重合，当∠PME=$\frac{1}{3}$∠MEB是，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据两根式以及抛物线平移a相同即可解决问题．
（2）求出顶点D坐标，只要证明∠ABD=∠ACB即可解决问题．
（3）如图2中，当点M在PA延长线时，作直线CE与PA交于点H，在PA取一点Q，使得EQ=EP，求出点Q坐标，根据FQ=AM，利用平移规律解决点M坐标．另外当点M在AP的延长线时，满足条件的点M不存在，

解答 解：（1）∵将抛物线y=-x²平移，平移后的抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），
∴平移后的抛物线的表达式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，
即y=-x²+2x+3．

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）．
∵y=-x²+2x+3，
∴当x=0时，y=3，即C点坐标为（0，3）．
又∵B（3，0），∠BOC=90°，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°．
在△BCD中，∵BC²=3²+3²=18，CD²=1²+1²=2，BD²=2²+4²=20，
∴BC²+CD²=BD²．∴∠BCD=90°．
∴tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}$=$\frac{1}{3}$
∵在△AOC中，∠AOC=90°，
∴tan∠ACO=$\frac{1}{3}$．
∴tan∠ACO=tan∠CBD．
∴∠ACO=∠CBD．
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACB=∠ABD．
∵点P是抛物线在第一象限上的一动点，∠ACB=∠ABP，
∴点P与点D重合，
∴所求点P坐标（（1，4）．

（3）如图2中，当点M在PA延长线时，作直线CE与PA交于点H，在PA取一点Q，使得EQ=EP，

∵A（-1，0），P（1，4），
∴直线AP解析式为y=2x+2，
∵C（0，3），E（2，2），
∴直线CE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∵2×（-$\frac{1}{2}$）=-1，
∴PA⊥EC，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=-\frac{1}{2}x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}}\\{y=\frac{14}{5}}\end{array}\right.$，
∴HP=HQ，
∴点Q坐标（-$\frac{1}{5}$，$\frac{8}{5}$），
∵∠MEB=3∠MPE=∠MPE+∠PME，
∴∠MPE=2∠PME，
∵∠MPE=∠EQP=∠PME+∠QEM，
∴∠QEM=∠QME，
∴QM=QE，
∵PE=QE=AF=QM=$\sqrt{5}$，
∴FQ=AM，
∵点F向下平移$\frac{1}{5}$单位，向左平移$\frac{2}{5}$单位得到点Q，
∴点A向下平移$\frac{1}{5}$单位，向左平移$\frac{2}{5}$单位得到点M，
∴点M坐标为（-$\frac{6}{5}$，-$\frac{2}{5}$）．
当点M在AP的延长线时，满足条件的点M不存在，
综上所述，满足条件的点M坐标为（-$\frac{6}{5}$，-$\frac{2}{5}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、二次函数的应用、锐角三角函数、勾股定理、平移的鞥知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，学会利用特殊点解决问题，学会3倍角的转化，属于中考压轴题．