Question

【题目】已知：函数y＝ax2－(3a＋1)x＋2a＋1(a为常数)．

(1)若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；

(2)若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交于点C，且x2－x1＝2.

①求抛物线的表达式；

②作点A关于y轴的对称点D，连接BC，DC，求sin ∠DCB的值．

Answer 1

【答案】（1）a＝0或－或－1时，函数图象与坐标轴有两个交点；（2）①y＝x2－4x＋3；②sin ∠DCB＝ .

【解析】

（1）根据a取值的不同，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解．
（2）①函数与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，则x1，x2，满足y=0时，方程的根与系数关系．因为x2-x1=2，则可平方，用x1+x2，x1x2表示，则得关于a的方程，可求，并得抛物线解析式．
②已知解析式则可得A，B，C，D坐标，求sin∠DCB，须作垂线构造直角三角形，结论易得．

(1)函数y＝ax2－(3a＋1)x＋2a＋1(a为常数)，若a＝0，则y＝－x＋1，图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；

当a≠0且图象过原点时，2a＋1＝0，a＝－，有两个交点(0，0)，(1，0)；

当a≠0且图象与x轴只有一个交点时，令y＝0，有Δ＝(3a＋1)2－4a(2a＋1)＝0，解得a＝－1，

有两个交点(0，－1)，(1，0)．

综上得，a＝0或－或－1时，函数图象与坐标轴有两个交点．

(2)①∵抛物线与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，

∴x1，x2为ax2－(3a＋1)x＋2a＋1＝0的两个根．

∴x1＋x2＝，x1x2＝.

∵x2－x1＝2，

∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4·.

解得a＝－ (开口向上，a＞0，舍去)或a＝1.

∴y＝x2－4x＋3.

②∵抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，与y轴相交于点C，且x1＜x2，

∴A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)．

∵D为A关于y轴的对称点，

∴D(－1，0)．

如图，过点D作DE⊥CB于E.

∵OC＝3，OB＝3，OC⊥OB，

∴△OCB为等腰直角三角形．

∴∠CBO＝45°.

∴△EDB为等腰直角三角形．

∵DB＝4，∴DE＝2.

在Rt△COD中，∵DO＝1，CO＝3，

∴CD＝＝.

∴sin ∠DCB＝＝.