Question

已知抛物线C₁：y＝ax²－2amx＋am²＋2m＋1(a＞0，m＞1)的顶点为A，抛物线C₂的对称轴是y轴，顶点为点B，且抛物线C₁和C₂关于P(1，3)成中心对称．

(1)用m的代数式表示抛物线C₁的顶点坐标；

(2)求m的值和抛物线C₂的解析式；

(3)设抛物线C₂与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)因为， 　　所以，抛物线的顶点A(m，2m＋1)．………………………………2分． 　　(2)如图，因为点A、B关于点P(1，3)成中心对称，作PEy轴于点E，作AFy轴于点F，可知．所以，AF＝2PE，即m＝2．…………………3分． 　　又P(1，3)，A(2，5)设直线AP的解析式为y＝kx＋b，把A、P的坐标代入得 　　所以k＝2，b＝1．故直线AB的解析式是 　　y＝2x＋1，得抛物线的顶点的坐标是B(0，1)．……………4分． 　　因为关于点P成中心对称，所以，抛物线的开口大小相同，方向相反，得的解式是……………………………………………5分． 　　(3)在中，因为AB＝，所以不存在AB＝AC的情况． 　　当为等腰三角形时，只有以下两种情况： 　　①如图，设C(x，0)，若BC＝AB＝，则OC＝， 　　得C(，0)．又C(，0)在上，则．…………6分． 　　②如图，若AC＝BC，设C(x，0)，作ADx轴于点D， 　　在中，； 　　在中， 　　由，解得x＝7． 　　因为C(7，0)在上，所以a＝． 　　综上，满足使是等腰三角形的a的值有两个： 　　．……………………7分．