Question

我们学习了因式分解之后可以解某些高次方程，例如，一元二次方程x²+x-2=0可以通过因式分解化为：（x-1）（x+2）=0，则方程的两个解为x=1和x=-2．反之，如果x=1是某方程ax²+bx+c=0的一个解，则多项式ax²+bx+c必有一个因式是 （x-1），在理解上文的基础上，试找出多项式x³+x²-3x+1的一个因式，并将这个多项式因式分解．

Answer 1

解：∵x=1是方程x³+x²-3x+1=0的一个解，
∴多项式x³+x²-3x+1的一个因式是x-1，
设x³+x²-3x+1=（x-1）（x²+ax-1），
∴x³+x²-3x+1=x³+ax²-x²-ax-x+1=x³+（a-1）x²+（-a-1）x+1，
∴1=a-1，-3=-a-1，
解得：a=2，
∴x³+x²-3x+1=（x-1）（x²+2x-1），
即多项式x³+x²-3x+1的另一个因式是x²+2x-1，这个多项式因式分解为x³+x²-3x+1=（x-1）（x²+2x-1）．
分析：由已知得出多项式x³+x²-3x+1的一个因式是x-1，设x³+x²-3x+1=（x-1）（x²+ax-1），展开后根据对应系数相等得出1=a-1，-3=-a-1，求出a即可．
点评：本题考查了解一元二次方程-因式分解法和因式分解的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目比较好，但有一定的难度．