Question

9．如图，等腰△ABC中，底边BC=a，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于D，∠BCD的平分线交BD于E．设k=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则DE=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$a．

Answer 1

分析 根据三角形特点，先求出角的度数，从而得到三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例即可求得．

解答 解：∵AB=AC，∠A=36°
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵在△ADB中，∠BDC是外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴AD=BD，BD=BC，
∴△ABC∽△BDC，
∴AB：BC=BC：CD，
同理∠DCE=∠BCE=36°
∴∠DEC=36°+36°=72°，∠BDC=72°
∴△CDE∽△ABC，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$．
设CD=x，则BD=BC=AD=a，
∴$\frac{a}{a+x}$=$\frac{x}{a}$，解得x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a或x=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$a（舍去），
∴$\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}a}{a+\frac{\sqrt{5}-1}{2}a}$=$\frac{DE}{a}$，解得DE=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$a，
故答案为：$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$a．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形对应边成比例列出等式，注意把不合题意的解舍去．