Question

在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．

（1）依题意补全图1；
（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据题意直接画出图形得出即可；
（2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；
（3）由轴对称的性质可得：EF=BF，AE=AB=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF，进而利用勾股定理得出答案．

解答：解：（1）如图1所示：

（2）如图2，连接AE，
则∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAP=∠BAP=20°，
∴∠EAD=130°，
∴∠ADF=

180°-130°

2

=25°；

（3）如图3，连接AE、BF、BD，
由轴对称的性质可得：EF=BF，AE=AB=AD，
∠ABF=∠AEF=∠ADF，
∴∠BFD=∠BAD=90°，
∴BF²+FD²=BD²，
∴EF²+FD²=2AB²．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质得出对应边相等是解题关键．