Question

（2012•宜昌）如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为

AD

的中点．
（1）求证：OF∥BD；
（2）若

FE

ED

=

1

2

，且⊙O的半径R=6cm．
     ①求证：点F为线段OC的中点；
     ②求图中阴影部分（弓形）的面积．

Answer 1

分析：（1）由垂径定理可知OC⊥AD，由圆周角定理可知BD⊥AD，从而证明OF∥BD；
（2）①由OF∥BD可证△ECF∽△EBD，利用相似比证明BD=2CF，再证OF为△ABD的中位线，得出BD=2OF，即CF=OF，证明点F为线段OC的中点；
②根据S_阴=S_扇形AOC-S_△AOC，求面积．

解答：（1）证明：∵OC为半径，点C为弧AD的中点，
∴OC⊥AD，
∵AB为直径，
∴∠BDA=90°，BD⊥AD，
∴∠AFO=∠D=90°，
∴OF∥BD；

（2）证明：①∵点O为AB的中点，点F为AD的中点，
∴OF=

1

2

BD，
∵FC∥BD，
∴∠FCE=∠DBE，
又∵∠FEC=∠DEB，
∴△ECF∽△EBD，
∴

FC

BD

=

FE

ED

=

1

2

，
∴FC=

1

2

BD，
∴FC=FO，即点F为线段OC的中点，
②解：∵FC=FO，OC⊥AD，
∴AC=AO，
又∵AO=CO，
∴△AOC为等边三角形，
∴S_阴=

60×π×62

360

-

1

2

×

3

2

×6×6=6π-9

3

（cm²）．
答：图中阴影部分（弓形）的面积为（6π-9

3

）cm²．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，扇形面积的计算．关键是熟练掌握各知识点的联系及互相转化．