Question

如图，DB为半圆的直径，且BD=2，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F．
（1）连接BE，求证：BE平分∠DBC；
（2）当AD=1时，试探究四边形BOEF的形状；
（3）设AD=x，CF=y，求y关于x的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）连接ED，由已知DB为半圆的直径，BC⊥AC可得∴∠BED=∠BCD=90°，再由AC切半圆于点E得∠BEC=∠BDE，从而证得BE平分∠DBC；
（2）连接EF、OE，先证明Rt△AOE，得出∠A=30°，再证明四边形BOEF为平行四边形，从而探究出四边形BOEF的形状；
（3）连接DF、OE，过点D作DG⊥AC与点G，先证明四边形CGDF是矩形，得出DG=CF=y；再证明△AOE∽△ADG，根据相似三角形的性质即可求出答案．

解答：（1）证明：连接ED，
∵DB为半圆的直径，∴∠BED=90°，
又BC⊥AC，∴∠BCE=90°，
∴∠BED=∠BCE，
∵AC切半圆于点E，∴∠BEC=∠BDE，
∴∠DBE=∠EBC，
所以BE平分∠DBC；

（2）解：当AD=1时，四边形BOEF的形状为菱形；
证明：连接EF、OE，
∵BD=2，AD=1，∴OB=OE=OD=AD=1，
∴∠OEB=∠OBE=∠CBE，
∴OE∥BC，∴∠OEA=∠BCE=90°，
∵OE=AD=OD=

1

2

AO，∴∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
由（1）得：∠CBE=∠OBE=30°，
又AC切半圆于点E，∴∠CEF=∠DBE=30°，
∴∠BEF=90°-30°-30°=30°，
∴∠BEF=∠OBE，
∴EF∥OB，已证OE∥BC，
∴四边形BOEF为平行四边形，
又OB=OE，∴OE=BF=OB=EF，
所以四边形BOEF的形状为菱形；

（3）解：连接DF、OE，过点D作DG⊥AC于点G．
∵∠C=∠CGD=∠CFD=90°，
∴四边形CGDF是矩形，
∴DG=CF=y；
∵OE∥DG，
∴△AOE∽△ADG，
∴

OE

AO

=

DG

AD

，
即

1

x+1

=

y

x

，
化简可得y=

x

1+x

．

点评：此题考查的知识点是切线的性质、圆周角定理及菱形的判定，关键是：
（1）运用圆周角定理和弦切角证明；
（2）证明Rt△AOE，得出∠A=30°，再证明四边形BOEF为平行四边形；
（3）渗透了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．