Question

在△ABC中，∠ABC=90°，BC=AB，P是内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，试求∠APB的度数．

Answer 1

解：∵∠ABC=90°，BC=AB，
∴把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA，如图，
∴BD=BP=2，AD=PC=3，∠PBD=90°，
∴△PBD为等腰直角三角形，
∴PD=PB=2，∠DPB=45°，
在△APD中，AP=1，PD=2，AD=3，
∵1²+（2）²=3²，
∴AP²+PD²=AD²，
∴△APD为直角三角形，
∴∠APD=90°，
∴∠APB=∠APD+∠DPB=90°+45°=135°．
分析：由于∠ABC=90°，BC=AB，则可以把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA，根据旋转的性质得到BD=BP=2，AD=PC=3，∠PBD=90°，得到△PBD为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PD=PB=2，∠DPB=45°，在△APD中易得AP²+PD²=AD²，根据勾股定理的逆定理得到△APD为直角三角形，然后利用∠APB=∠APD+∠DPB计算即可．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理．