Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，与AC交于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD．

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ODB=∠DBC（等量代换），

∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；

又∵∠C=90°（已知），

∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），

∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，OD∥BC，

∴ （平行线截线段成比例），

∴ ，

解得r= ，即⊙O的半径r为 ．

【解析】根据等角对等边得到∠OBD=∠ODB，由角平分线的定义和等量代换，得到两直线平行，根据两直线平行，同位角相等得到AC是⊙O的切线；（2）由（1）知，OD∥BC，根据平行线截线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例；求出⊙O的半径.
【考点精析】认真审题，首先需要了解切线的判定定理(切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)，还要掌握平行线分线段成比例(三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例)的相关知识才是答题的关键．