Question

20．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

（1）如图2，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B=50°，∠D=30°，求∠BPD．
（2）如图1，在AB∥CD的前提下，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？并证明你的结论．
（3）在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）过点P作直线EF∥AB，由平行线的性质即可得出结论；
（2）根据平行线的性质及三角形外角的性质即可得出结论；
（3）连接QP并延长，由三角形外角的性质即可得出结论．

解答 （1）解：如图2，过点P作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠BPF=∠B=50°，∠DPF=∠D=30°，
∴∠BPD=50°+30°=80°；

（2）∠B=∠BPD+∠D．
证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠BOD．
∵∠BOD=∠BPD+∠D，
∴∠B=∠BPD+∠D．

（3）∠BPD=∠B+∠D+∠BQD．
证明：如图3，连接QP并延长，
∵∠BPE=∠B+∠CQE，∠DPE=∠D+∠DQE，
∴∠BPE+DPE=∠B+∠CQE+∠D+∠DQE，即∠BPD=∠B+∠D+∠BQD．

点评 本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．