Question

已知t为一元二次方程x²-3x+1=0的根．
（1）对任一给定的有理数a，求有理数b，c，使得（t+a）（bt+c）=1成立；
（2）表示成dt+e的形式，其中d，e为有理数．

Answer 1

解：（1）解方程x²-3x+1=0得t=是无理数，
由（t+a）（bt+c）=1得bt²+（ab+c）t+ac-1=0，
∵t²-3t+1=0，
∴t²=3t-1，
于是上式可化为（3b+ab+c）t-b+ac-1=0
由于t是无理数，故有
∵a，b是有理数，∵a²+3a+1≠0，由上面方程组解得：
b=-，c=

（2）因为x²+2=（3t-1）+2=3t+1=3（t+），
由（1）知，对a=，有b=-=-，c==，
使得（t+）（-t+）=1，
从而=（-t+）=-t+．
分析：（1）先求出t的值，再根据题意得到关于t的一元二次方程，代入已知方程（t+a）（bt+c）=1，可得到关于a、b、c的方程组，再用a表示出b、c的值即可；
（2）由（1）可把t²+2表示成3t+1的形式，再把a=代入（1）中b、c的式子，可求出b、c的值，进而可把表示成dt+e的形式．
点评：本题难度较大，解答此题的关键是把t代入原方程，得到关于t的一元二次方程，用a表是出b、c的值．