Question

【题目】如图，E、F两点分别在平行四边形ABCD的边CD、AD上，AE＝CF，AE、CF相交于点O．

（1）用尺规作出∠AOC的角平分线OM（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）求证：OM一定经过B点．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）用尺规作出∠AOC的角平分线OM即可；

（2）根据同底等高的三角形和平行四边形面积的关系可以证明S△ABE=S△BCF，作BG⊥OC于点G，BH⊥OA于点H，再根据角平分线的判定定理即可证明OM一定经过B点．

解：（1）如图，OM即为所求；

（2）如图，连接BE、BF，

∵△ABE以AB为底，高是平行四边形AB边的高，

∴S△ABE＝S平行四边形ABCD，

同理S△BCF＝S平行四边形ABCD，

∴S△ABE＝S△BCF，

作BG⊥OC于点G，BH⊥OA于点H，

∴S△ABE＝AEBH，

S△BCF＝CFBG，

∵S△ABE＝S△BCF，AE＝CF，

∴BH＝BG，

∵BG⊥OC，BH⊥OA，

∴点B在∠AOC的平分线上，

即OM一定经过B点．