Question

5．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
（3）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；
（4）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．

Answer 1

分析 （1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC的解析式；
（2）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出MN的长，再利用二次函数的最值可求得MN的最大值；
（3）由题意可得当△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时则有MN=MC，且MC⊥MN，则可求表示出M点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值；
（4）由条件可得出MN=OC，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值．

解答 解：
（1）∵抛物线过A、C两点，
∴代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3，
令y=0可得，-x²+2x+3=0，解x₁=-1，x₂=3，
∵B点在A点右侧，
∴B点坐标为（3，0），
设直线BC解析式为y=kx+s，
把B、C坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3k+s=0}\\{s=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{s=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-x+3；
（2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，
∴M（m，-m²+2m+3），N（m，-m+3），
∵P在线段OB上运动，
∴M点在N点上方，
∴MN=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，MN有最大值，MN的最大值为$\frac{9}{4}$；
（3）∵PM⊥x轴，
∴当△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，则有CM⊥MN，
∴M点纵坐标为3，
∴-m²+2m+3=3，解得m=0或m=2，
当m=0时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴m=2；
（4）∵PM⊥x轴，
∴MN∥OC，
当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，
当点P在线段OB上时，则有MN=-m²+3m，
∴-m²+3m=3，此方程无实数根，
当点P不在线段OB上时，则有MN=-m+3-（-m²+2m+3）=m²-3m，
∴m²-3m=3，解得m=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或m=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，
综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（2）中用m表示出MN的长是解题的关键，在（3）中确定出CM⊥MN是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到OC=MN是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．