Question

已知：直线y=-2x+2分别与x轴、y轴相交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，过C作CD⊥x轴于D．求：
（1）点A、B的坐标；
（2）AD的长；
（3）过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（4）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）直线y=-2x+2分别与x轴、y轴相交于点A、B，
令y=0得-2x+2=0，解得：x=1；
令x=0，解得y=2，
∴A（1，0），B（0，2）；…

（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
在△ABO和△CAD中，
，
∵△ABO≌△CAD（AAS），
∴OB=AD=2；…

（3）∵△ABO≌△CAD，
∴OA=CD=1，AD=OB=2，
∴OD=3，
∴C（3，1），…
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
把三点坐标代入得：，
解得，
∴；…

（4）存在3个点使△BCP为等腰三角形，
①当B为顶点，BC=BP时，如图所示：

在直角三角形AOB中，OA=1，OB=2，
根据勾股定理得：AB==，
∴AC=AB=，又△ABC为等腰直角三角形，
∴BP=BC=，
在直角三角形OBP₁中，OP₁==，
同理OP₂=，
则P₁（-，0），P₂（，0）；
②当C为顶点，CB=CP时，P₃（6，0），
此时B、C、P 在同一直线上，P₃舍去；
③当P为顶点，PA=PB时，P₄为线段BC垂直平分线与x轴的交点，
又∵AB=AC，此时P₄与A重合，
则P₄（1，0），
综上，满足题意的坐标为P₁（-，0），P₂（，0），P₃（1，0）．…
分析：（1）由直线y=-2x+2分别与x轴、y轴相交于点A、B，令y=0求出x的值即为A的横坐标，令x=0求出y的值即为B的纵坐标，写出两点坐标即可；
（2）由三角形ABC为等腰直角三角形，可得AB=AC，∠BAC=90°，根据平角定义可得∠BAO与∠CAD互余，由直角三角形的两锐角互余可得∠BAO与∠ABO互余，根据等角的余角相等可得∠CAD与∠ABO相等，再由一对直角相等，利用AAS可得出三角形AOB与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等可得AD=OB，由B的坐标得出OB的长，即为AD的长；
（3）由三角形AOB与三角形ACD全等，得到CD=OA，由A的坐标求出OA的长，即为CD的长，即为C的纵坐标，由OA+AD得出C的横坐标，确定出C的坐标，设出抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把A，B及C的坐标代入得到关于a，b及c的三元一次方程组，求出方程组的解集得到a，b及c的值，即可确定出过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（4）分三种情况考虑：当B为等腰三角形BCP的顶角顶点时，以B为圆心，BC长为半径画弧，与x轴交于两点，由勾股定理求出BC的长，即为BP的长，在直角三角形BOP中，根据勾股定理求出OP的长，即可确定出P的坐标；当C为等腰直角三角形BCP顶角顶点时，B，C，P在同一条直线上，不合题意；当P为等腰三角形顶角顶点时，P为线段BC的垂直平分线与x轴的交点，此时P与A重合，由A的坐标得到此时P的坐标，综上，得到所有满足题意的P的坐标．
点评：此题属于二次函数的综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，是一道综合性较强的压轴题．