Question

1．如图，已知二次函数y=-x²+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

Answer 1

分析 （1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；
（2）点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；
（3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．

解答 解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=-x²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}{-{3}^{2}+3b+c=1}\\{c=4}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=4}\end{array}\right.$
∴二次函数解析式为y=-x²+2x+4，
配方得y=-（x-1）²+5，
∴点M的坐标为（1，5）；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=1}\\{b=4}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴直线AC的解析式为y=-x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F

把x=1代入直线AC解析式y=-x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）
∴1＜5-m＜3，解得2＜m＜4；
（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）

∵MG=1，GC=5-4=1
∴MC=$\sqrt{M{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$，
把y=5代入y=-x+4解得x=-1，则点N坐标为（-1，5），
∵NG=GC，GM=GC，
∴∠NCG=∠GCM=45°，
∴∠NCM=90°，
由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点
①若有△PCM∽△BDC，则有$\frac{MC}{CP}=\frac{CD}{BD}$
∵BD=1，CD=3，
∴CP=$\frac{MC•BD}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}×1}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∵CD=DA=3，
∴∠DCA=45°，
若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，
∵∠PCH=45°，CP=$\frac{\sqrt{2}}{3}$
∴PH=$\frac{\sqrt{2}}{3}÷\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$
把x=$\frac{1}{3}$代入y=-x+4，解得y=$\frac{11}{3}$，
∴P₁（$\frac{1}{3}，\frac{11}{3}$）；
同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=-$\frac{1}{3}$代入y=-x+4，解得y=$\frac{13}{3}$
∴P₂（$-\frac{1}{3}，\frac{13}{3}$）；
②若有△PCM∽△CDB，则有$\frac{MC}{CP}=\frac{BD}{CD}$
∴CP=$\frac{\sqrt{2}×3}{1}$=3$\sqrt{2}$
∴PH=3$\sqrt{2}$÷$\sqrt{2}$=3，
若点P在y轴右侧，把x=3代入y=-x+4，解得y=1；
若点P在y轴左侧，把x=-3代入y=-x+4，解得y=7
∴P₃（3，1）；P₄（-3，7）．
∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P₁（$\frac{1}{3}，\frac{11}{3}$），P₂（$-\frac{1}{3}，\frac{13}{3}$），P₃（3，1），P₄（-3，7）．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数解析式及相似三角形性质，解题的关键是分类讨论三角形相似的不同情况，结合特殊角的使用来求出点P的坐标．