Question

在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点P为对角线BD垂直平分线上一点，且PD=5，则AP的长是

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理

专题：计算题

分析：根据题意画出图形，如图所示，利用线段垂直平分线定理得到BM=DM，可得出AM+BM=AM+MD=AD=8，设AM=x，则有BM=8-x，在直角三角形ABM中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到AM与DM的长，根据DM=5，得到此时P与M重合，AP的长即为AM的长；当P与N重合时，在直角三角形ABN中，由AB与BN的长，利用勾股定理求出AN的长即为AP的长．

解答：解：连接矩形ABCD对角线BD，做出BD的垂直平分线MN，交AD、BC分别于M，N点，连接BM，DN，AN，
∴BM=MD，AM+MD=AM+BM=AD=8，
在Rt△ABM中，设AM=x，BM=8-x，AB=4，
根据勾股定理得：x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴AM=3，MD=5，
当P与M重合时，PD=5，此时AP=3；
连接AN，当P与N重合时，由对称性得到PD=ND=BN=5，
在Rt△ABN中，AB=4，BN=5，
根据勾股定理得：AN=

42+52

=

41

，此时AP=

41

．
故答案为：3或

41

．

点评：此题考查了矩形的性质，线段垂直平分线定理，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．