Question

【题目】如图(1)，在平面直角坐标系中，抛物线经过

A(-1，0)、B(0，3)两点，与轴交于另一点C，顶点为D．

(1)求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；

(2)经过点B、D两点的直线与轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；

(3)如图(2)P(2，3)是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．

图(1) 图(2)

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为： ， ，D(1，4) ；

（2）点F的坐标为(2，3)；

（3）S△PQA的最大面积为，此时Q.

【解析】试题分析：(1)、将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法求出函数解析式，根据方程的思想求出点C的坐标，将二次函数进行配方，从而得出点D的坐标；(2)、设直线BD的解析式为y=kx+b，将B、D两点坐标代入求出函数解析式，从而得出点E的坐标，根据平行四边形的性质得出BF=AE=2，根据点F的横坐标以及函数解析式得出点F的坐标；(3)、设Q， 作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，根据题意将AR、QR、PS、RS和AS用含m的代数式表示出来，根据S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA得出关于m的函数解析式，将函数解析式进行配方，从而得出最大值和点Q的坐标.

试题解析：(1)∵抛物线经过A(-1，0)、B(0，3)两点，

∴　 解得：

抛物线的解析式为：

∵由，解得： ∴

∵由 ∴D(1,4)

(2)∵四边形AEBF是平行四边形， ∴BF=AE． 设直线BD的解析式为y=kx+b，则
∵B(0，3)，D(1,4) ∴n=3 k+n=4 解得：k=1，n=3

∴直线BD的解析式为y=x+3 当y=0时，x=-3 ∴E(-3，0)， ∴OE=3，

∵A(-1，0) ∴OA=1， ∴AE=2 ∴BF=2，

∴F的横坐标为2， ∴y=3， ∴F(2，3)；

(3)如图，设Q， 作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，且P(2，3)，

∴AR= ，QR=， PS=3，RS=2-m，AS=3

∴S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA=

=

∴S△PQA=

∴当时，S△PQA的最大面积为， 此时Q