Question

已知抛物线经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），以AB为直径画圆．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求该圆与抛物线交点（除A、B外）坐标；
（3）以AB的中点O′为圆心画圆，该圆的半径r与此抛物线的交点个数有何关系（直接写出结论）

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c
∵此抛物线经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，2）
∴a+b+c=0，9a+3b+c=0，c=3
∴a=1，b=-4，c=3
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3

（2）过E作ED⊥AB于D，连接BE
设交点E（m，n）则AD=m-1，BD=3-m，DE=-n
∵AB为圆的直径
∴∠AEB=90°
∴∠EAB+∠ABE=90°
∵ED⊥AB
∴∠ADE=∠EDB=90°
∴∠DEB+∠ABE=90°
∴∠DEB=∠EAB
∴△ADE∽△EDB
∴=∴=
∴m²-4m+3=-n²
又∵E（m，n）在抛物线y=x²-4x+3
∴n=m²-4m+3
∴n=-n²
∴n=-1或n=0（不合题意舍去）
∴m=2
∴该圆与抛物线交点坐标为（2，1）

（3）设当抛物线与圆相切时E（m，n），则O′E²=（2-m）²+（-n）²
∴r²=（2-m）²+（-n）²
又∵E（m，n）在抛物线y=x²-4x+3
∴n=m²-4m+3=（m-2）²-1
∴r²=（2-m）²+（（m-2）²-1）²
∴（m-2）⁴-（m-2）²+1-r²=0
∵当抛物线与圆相切时只有两个交点
∴m只有两个正数解
∵方程（m-2）⁴-（m-2）²+1-r²=0中m-2的两个解均为正数
∴此方程的b²-4ac=0
∴r=∵当r=1时有三个交点
∴当0＜r＜时无交点；
当r=或r＞1时有两个交点；
当r=1时有三个交点；
当＜r＜1时有四个交点．
分析：（1）可根据A、B的坐标用交点式的二次函数通式来设这个二次函数，然后根据C的坐标来确定其解析式．
（2）可求E、F两点中任何一个的坐标，以E点为例，过E作ED⊥AB于D，连接BE，先设出E点的坐标，如E点的坐标为（m，n），可用m、n表示出AD、DE、BD的长，根据射影定理可得出DE²=AD•DE，即可得出关于m、n的等量关系式，然后可依据E是抛物线上的点，将E的坐标代入抛物线的解析式中，可得出另外一个关于m、n的关系式，让这两个式子联立，即可求出m，n的值，也就得出E点的坐标．
（3）可先求出圆O′与抛物线相切时的圆的半径是多少．可设相切时，切点E的坐标为（m，n），可根据O′、E两点的坐标，求出O′E的长度，也就得出了半径的长，设半径为r，那么就得出了关于r、m、n的等量关系式．又有E是抛物线上的点，可将E的坐标代入抛物线的解析式中，得出关于m，n的等量关系式，然后联立两式即可得出关于、r的方程．已知了此时圆与抛物线相切，因此有两个切点．可根据根与系数的关系得出此时r的值．然后根据这个半径的值即可得出半径在不同的取值范围中，圆与抛物线的不同的位置关系，也就可得出了交点的个数．
点评：本题结合圆的知识考查了二次函数的综合应用，运用数形结合的方法进行解答是本题的基本思路．