Question

19．（1）计算下列各式的值：$\sqrt{1{1}^{2}-21}$；$\sqrt{10{1}^{2}-201}$；$\sqrt{100{1}^{2}-2001}$；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．

Answer 1

分析 （1）把二次根式化为最简二次根式即可．
（2）探究规律后，写出第n个等式，根据证明恒等式的步骤进行证明即可．

解答 解：（1）$\sqrt{1{1}^{2}-21}$=$\sqrt{121-21}$=$\sqrt{100}$=10，
$\sqrt{10{1}^{2}-201}$=$\sqrt{10201-201}$=$\sqrt{10000}$=100，
$\sqrt{100{1}^{2}-2001}$=$\sqrt{1002001-2001}$=$\sqrt{1000000}$=1000；
（2）$\sqrt{100…{1}^{2}-200…1}$（1与1之间，2与1之间有n-1个0）=10ⁿ．
证明：左边=$\sqrt{1{{0}^{2}}^{n}+2•1{0}^{n}+1-200…1}$=$\sqrt{1{0}^{2n}}$=10ⁿ=右边．
所以等式成立．

点评 本题考查算术平方根的定义，解题的关键是探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．