Question

20．如图，正方形和正六边形的边长都为1，如图所示摆放，正六边形按顺时针方向，在正方形边上旋转一周，假设A旋转一周后到达A′的位置，连接OA，OA′，则OA，OA′，与A所经过路线所围成的封闭图形面积为$\frac{5π}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，可知A旋转一周后，所形成的封闭图形的面积为S_扇形ABA1+S_扇形A1CA2，计算出扇形面积，相加即可．

解答 解：如图，A旋转一周后，所形成的封闭图形的面积为S_扇形ABA1+S_扇形A1CA2．
∵AB=$\sqrt{3}$OB=$\sqrt{3}$，∠ABA₁=360°-210°=150°，
∴S_扇形ABA1=$\frac{150π（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=$\frac{5π}{4}$；
∵CA₂=1，∠A₂CA₁=360°-210°=150°，
∴S_扇形A1CA2=$\frac{150π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{5}{12}$π；
∴S_扇形ABA1+S_扇形A1CA2=$\frac{5π}{4}$+$\frac{5π}{12}$=$\frac{5π}{3}$．
故答案为$\frac{5π}{3}$．

点评 本题考查了扇形的面积和轨迹，正确作出A的轨迹并正确应用扇形面积公式是解题的关键．