Question

【题目】已知抛物线y=﹣x2+2bx+1﹣2b(b为常数)．

（1）若点(2，5)在该抛物线上，求b的值；

（2）若该抛物线的顶点坐标是(m，n)，求n关于m的函数解析式；

（3）若抛物线与x轴交点之间的距离大于4，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）b=4；（2）n=m2﹣2m+1；（3）b＞3或b＜﹣1．

【解析】

（1）将点(2，5)的坐标代入抛物线表达式求解即可；

（2）根据顶点坐标公式可得m、n关于b 的关系式，进一步即可得出结果；

（3）设抛物线与x轴交点的横坐标为s，t，由根与系数的关系可得s+t，st与b的关系式，进一步即可求出抛物线与x轴交点之间的距离与b的关系式，然后可得关于b的不等式，解不等式即得结果．

解：（1）将点(2，5)的坐标代入抛物线表达式得：5=﹣22+4b+1﹣2b，

解得：b=4；

（2）由抛物线顶点坐标公式得：mb，n=1﹣2b1﹣2b+b2，

故n=m2﹣2m+1；

（3）设抛物线与x轴交点的横坐标为s，t，

则s+t2b，st2b﹣1，

∴，

由题意得：＞4，

解得：b＞3或b＜﹣1，

故b的取值范围为：b＞3或b＜﹣1．