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    如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作
    BD
    ，将一块直角三角板的直角顶点P放置在
    BD
    （不包括端点B、D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC相交于点Q，连接PC，并设PQ=x，以下我们对△CPQ进行研究．
    （1）△CPQ能否为等边三角形？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由；
    （2）求△CPQ周长的最小值；
    （3）当△CPQ分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时分别求x的取值范围．
    （1）假设△CPQ为等边三角形时，
    一方面x=BQ=PQ=CQ=
    1
    2
    ，（1分）
    另一方面，连接AQ，
    ∵∠PAQ=30°，∠APQ=90°，
    ∴∠AQP=60°，
    ∵∠PQC=60°，
    ∴∠AQB=60°，
    ∴∠BAQ=30°，
    ∴tan∠BAQ=tan30°=
    x
    1
    ，
    ∴x=
    		3
    3
    ，（2分）
    ∴得出自相矛盾；
    ∴△CPQ不能为等边三角形．（3分）

    （2）△CPQ的周长=PQ+QC+CP=BQ+QC+CP=BC+PC=1+PC；（4分）
    又∵PC≥AC-PA=
    		2
    -1，
    ∴△CPQ的周长≥1+
    		2
    -1=
    		2
    ，
    即当点P运动至点P0时，△CPQ的周长最小值是
    		2
    ．（6分）

    （3）连接AC，交
    BD
    于P0，则P0Q=BQ=x，∠P0CQ=45°，∠CP0Q=90°；
    ∴P0Q=BQ=x=
    		2
    -1，∠PQC=∠PAB＜90°，∠PCQ＜90°．（7分）
    ①当P在
    DP0
    上运动时，
    ∵∠APQ=90°，
    ∴0°＜∠CPQ＜90°，
    此时△CPQ是锐角三角形，
    		2
    -1＜x＜1．（8分）
    ②当P与P0重合时，∠CPQ=90°，此时△CPQ是直角三角形，x=
    		2
    -1．（9分）
    ③当P在
    P0B
    上运动时，
    ∵∠APC＜180°，∠APQ=90°，
    ∴90°＜∠CPQ＜180°，
    此时△CPQ是钝角三角形，0＜x＜
    		2
    -1．（10分）
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    BC
    =
    BE
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    		3
    ，求
    ECF
    的长．

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