Question

如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O（0，0），与x轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．
（1）已知AC=3，求点B的坐标；
（2）若AC=a，D是OB的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O₁，函数的图象经过点O₁，求k的值（用含a的代数式表示）．

Answer 1

解：（1）解法一：连接OC，
∵OA是⊙P的直径，
∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中，，
在Rt△AOC和Rt△ABO中，
∵∠CAO=∠OAB
∴Rt△AOC∽Rt△ABO，
∴，即，
∴，
∴

解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径，
∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，
∴OC=4，
过C作CE⊥OA于点E，则：，
即：，
∴，
∴，
∴，
设经过A、C两点的直线解析式为：y=kx+b．
把点A（5，0）、代入上式得：，
解得：，
∴，
∴点．

（2）点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：
连接CP、CD、DP，
∵OC⊥AB，D为OB上的中点，
∴，
∴∠3=∠4，
又∵OP=CP，
∴∠1=∠2，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴PC⊥CD，又∵DO⊥OP，
∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，
∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，
∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上；
由上可知，经过点O、P、C、D的圆心O₁是DP的中点，圆心，
由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，
∴，
求得：AB=，在Rt△ABO中，，
OD=，
∴，点O₁在函数的图象上，
∴，
∴．
分析：（1）此题有两种解法：
解法一：连接OC，根据OA是⊙P的直径，可得OC⊥AB，利用勾股定理求得OC，再求证Rt△AOC∽Rt△ABO，利用其对应变成比例求得OB即可；
解法二：连接OC，根据OA是⊙P的直径，可得∠ACO=90°，利用勾股定理求得OC，过C作CE⊥OA于点E，分别求得CE、0E，设经过A、C两点的直线解析式为：y=kx+b．
把点A（5，0）、代入上式解得即可．
（2）连接CP、CD、DP，根据OC⊥AB，D为OB上的中点，可得，求证Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，可得PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，由上可知，经过点O、P、C、D的圆心O₁是DP的中点，圆心，由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，可得，求得：AB、OD即可．
点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求反比例函数关系式，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，圆周角定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，有一定的拔高难度，属于难题．